El hexaedro

Ferrete, Antonio y Gonzalo

INTRODUCCIÓN: 

Los poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos, llamados caras. Estos son  cinco aunque nosotros vamos a hablar únicamente del HEXAEDRO.



DEFINICIÓN:
El hexaedro es un poliedro regular formado por seis caras que son cuadrados, además el hexaedro también se denomina cubo. En adición, tiene doce aristas y ocho vértices.

SECCIÓN PRINCIPAL: La sección principal de un hexaedro nos permite determinar la distancia de su diagonal principal (desde el punto E hasta el C o del G hasta el A) así como la disposición de los vértices en un caso particular, cuando el poliedro está apoyado en un plano de proyección, por un vértice de una diagonal principal siendo esta perpendicular a dicho plano. Esta sección principal está determinada por un plano que pasa por dos aristas opuestas y que pasa por el centro geométrico del poliedro (IMAGEN 1 y 2).

           IMAGEN 1                                                           IMAGEN 2

Al REPRESENTAR EL HEXAEDRO CON BASE APOYADA EN EL PH. El contorno aparente en proyección horizontal es un cuadrado cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Dibujado el cubo en posición arbitraria en proyección horizontal, dibujamos su proyección vertical sabiendo que su altura es igual a la verdadera magnitud de las aristas (IMAGEN 3).

                                                              IMAGEN 3

 LÁMINA DEL "HEXAEDRO CON BASE APOYADA EN EL PH." es un claro ejemplo de hexaedro, valga la redundancia, realizado gracias a los conceptos , bien aplicados, que habréis leído a cerca de este poliedro: 

El tetraedro

TETRAEDRO

Definición de tetraedro:

Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales. Es una pirámide triangular regular.
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.

En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que:
Los segmentos que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas son concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.

Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (Teorema de Commandino).
Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.

Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.

Lámina: 

Introducción a los poliedros

El Poliedro

Javier, Sandra, Marta Sánchez y Berta

      INTRODUCCIÓN: los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales compuestos por    

      caras planas (que son polígonos) aristas y vértices, que conforman un volumen. Puestos a 

      clasificar, los poliedros son superficies regladas desarrollables. 

      Los poliedros se pueden clasificar a su vez en regulares e irregulares:

•      Regulares: sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos son todos iguales.    Se les puede aplicar el teorema de Euler, que expone que el número de vértices sumados  con el número de caras de un poliedro es igual al número de aristas más dos:             (nº vértices + nº caras = nº aristas + 2).  Hay cinco poliedros regulares conocidos:

                1. Tetraedro: está formado por 4 caras (triángulos equiláteros). Tienen 4 vértices y 

                               6 aristas. 

                2. Hexaedro: está formado por 6 caras (cuadrados). Tienen 8 vértices  12 aristas.

                3. Octaedro: está formado por 8 caras (triángulos equiláteros). Tienen 6 vértices y 

                                             12 aristas.

                       4. Dodecaedro: está formado por 12 caras (pentágonos regulares). Tienen 20 vértices y                                               30 vértices.

                       5. Icosaedro: está formado por 20 caras (triángulos equiláteros). Tienen 12 vértices y

                                             30 aristas.

•   Irregulares: son aquellos que no tienen sus caras como polígonos regulares ni sus vértices y aristas son todos iguales. Podemos distinguir varios tipos: los prismas y las pirámides.

En clase hemos trabajado dos láminas referidas al tema: tetraedro con base apoyada en el PH y hexaedro con base apoyada en el PH                                                            

RECTAS DEL PLANO

- Rectas en Plano Oblicuo:
1. Recta Oblícua.
Esta recta oblicua se puede encontrar situada en el plano vertical o en el plano horizontal:

• Situada en el vertical: la recta oblicua podrá estar situada en el plano vertical, donde sus proyectantes equivalen a cero, por lo tanto su proyeccíon vertical coincide con la misma recta. Su proyección horizontal se encuentra en la línea de tierra.
• Situada en la horizontal: la recta oblicua puede estar situada en el plano horizontal, por lo tanto su proyección vertical coincide con la línea de tierra. Su proyección horizontal es confundida con la misma recta dada, por estar en el mismo sitio que la recta.

2. Recta Horizontal del Plano.

• Es una recta horizontal contenida en un plano.
• La proyección vertical es paralela a la L. De tierra.
• La proyección horizontal es paralela a la traza horizontal del plano.

3. Recta Frontal del Plano.

• Es una recta frontal contenida en un plano.
• La proyección vertical es paralela a la traza vertical del plano.
• La proyección horizontal es paralela a la línea de tierra.

4. Recta de Máxima Pendiente.

• Sus puntos están contenidos en los planos de proyección del plano oblícuo. 
• Tiene dos trazas, la vertical y la horizontal.
• Su proyección horizontal forma 90º con la proyección horizontal del plano.

5. Recta de Máxima Inclinación.

• Sus puntos están contenidos en los planos de proyección del plano oblícuo. 
• Tiene dos trazas, la vertical y la horizontal.
• Su proyección vertical forma 90º con la proyección vertical del plano.

- Rectas en Plano Perpendicular al P.V:

1. Recta oblicua.

• Su proyección vertical está contenida en la vertical del plano.
• Tiene dos trazas, la vertical y la horizontal.

2. Recta de Máxima Pendiente.

• Su proyección vertical está contenida en la proyección vertical del plano.
• Su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y forma 90º con la proyección horizontal del plano.
• Tiene una única traza, la horizontal.

3. Recta de Máxima Inclinación.

• Su proyección vertical está contenida en la proyección vertical del plano.
• Su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra y forma 90º con esta.
• Tiene una única traza, la vertical.

- Rectas en Plano Perpendicular al P.H: 

1. La Recta de Máxima Inclinación.

• Su proyección horizontal es paralela a la Línea de tierra; y perpendicular a la Proyección vertical de la recta en Plano Perpendicular al P.H.
• Su proyección horizontal coincide con la proyección horizontal de la recta en Plano perpendicular al P.H.

2. La recta de Máxima Pendiente.

• Su proyección vertical es paralela a la proyección vertical de la recta en el plano perpendicular al P.H.
• Su proyección horizontal provoca que esta recta esté en la recta en el plano perpendicular al P.H.

3. La Recta Oblicua.

• Su Proyección horizontal coincide con la  P. Horizontal de la recta del plano perpendicular al P.H.

• El ángulo de la proyección vertical será igual al formado en la recta del plano perpendicular al P.H.

El plano.

Características del plano:
Un plano es una superficie plana ilimitada, sin espesor. El plano es uno de los elementos geométricos básicos. Tiene dos dimensiones planas (X e Y). Un plano no tiene proyección (la proyección de los infinitos puntos que lo componen daría como resultado una mancha de puntos), por este motivo, los planos se representan en el Sistema Diédrico por sus trazas. Todo plano en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos trazas en forma de dos rectas contenidas en los dos planos proyectantes. Una traza vertical, en el Plano de Proyección Vertical, y otra traza horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal. Aunque los planos no tienen proyección propia y se representan por sus trazas, las figuras planas que contienen los planos (puntos, rectas, polígonos, circunferencias, etc.) si tienen proyecciones. Decimos que una figura geométrica pertenece a un plano si está contenida en dicho plano. Un plano en el espacio se marca con una letra griega mayúscula (α, β,…). A la traza vertical de un plano se la denomina con la letra minúscula v y el subíndice α, (u otra letra griega que define el plano) y a la traza horizontal de un plano se la denomina con la letra minúscula h y el mismo subíndice α (o la letra griega que le corresponda). Recordemos que un plano siempre es ilimitado, y por lo tanto, sus trazas también son ilimitadas.


- Plano oblícuo:
Es un plano que está inclinado con respecto a los tres planos de referencia.

- Plano de canto:
Es perpendicular al plano vertical y oblícuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, los elementos contenidos en él se proyectan sobre la traza con dicho plano.

 

- Plano vertical:

Es perpendicular al plano horizontal. La traza vertical es perpendicular a la línea de tierra y su traza horizontal oblicua.

- Plano de perfil:

Es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.

 

- Plano horizontal:

Es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

-Plano frontal:

Es paralelo al plano vertical. Sólo tiene una traza horizontal paralela a la línea de tierra.

- Plano paralelo a la línea de tierra:

 Es oblícua a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil. Se puede considerar un proyectante de perfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza de perfil.

- Plano que contiene a la línea de tierra:

Sus trazas se confunden en la línea de tierra, por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante de perfil.

LÁMINAS:

Posiciones de la Recta

1. Recta Frontal (paralela al plano vertical)

• Solo tiene una traza, la horizontal.
• Su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra.
• Se puede medir en verdadera magnitud en la proyección vertical, y además el ángulo que forma la proyección vertical con la línea de tierra está  en verdadera magnitud con el ángulo que forma la recta con el plano horizontal.
  
  

2. Recta Horizontal (paralela al plano horizontal)

• Solo tiene una traza, la vertical, ya que al ser paralela al plano horizontal nunca se corta.
• La proyección vertical es paralela a la línea de tierra.
• los segmentos que estén contenidos en la P.H se miden en verdadera magnitud.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

3. Recta Paralela a la Línea de Tierra - (F. Arriba)

• No tiene trazas.
• Se mide en verdadera magnitud en los dos planos.
  
  

4. Recta de Perfil (paralela al P.P) - (F. Abajo)

• Está contenida en el plano de perfil.
• Tiene dos trazas, la horizontal y la vertical.
• Es perpendicular a la línea de tierra y sus proyecciones coinciden.
• La única manera de comprobar que un punto está contenido en la recta es hallando su proyección de perfil.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

5. Recta Vertical (perpendicular al P.H)

• Su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra.
• Su proyección horizontal es un punto que coincide con la traza horizontal.
• Solo tiene una única traza, la horizontal.
• Se mide en verdadera magnitud en la proyección vertical.
  
  

6. Recta de Punta (perpendicular al P.V)

• Solo tiene una traza vertical.
• Su proyección horizontal es perpendicular a la línea de tierra.
• Se mide en verdadera magnitud en la proyección horizontal.

La recta

La recta es uno de los elementos geométricos básicos que solo tiene una dimensión lineal.

Una recta es una sucesión de puntos en la misma dirección, el lugar geométrico de los puntos que tienen una misma dirección.

Una recta se representa en el sistema diédrico por dos proyecciones, las proyecciones de dos de sus puntos.

1. Una proyección vertical que se representa con un apóstrofe: r’, s’, t’…

2. Una proyección horizontal, que se representa sin apóstrofe: r, s, t…

Las rectas pueden estar colocadas de formas diferentes respecto a los planos de proyección.

TRAZAS DE LA RECTA

Los puntos de corte de la recta y los planos de proyección  se denominan trazas de la recta.

Existen dos tipos de trazas:

•       Traza vertical, es donde la recta atraviesa el plano vertical, es siempre un punto del PV
•       Traza horizontal, es donde la recta atraviesa al plano horizontal, es por tanto un punto del PH

Para diferenciar las trazas de otros puntos situados en los planos de proyección, se denominan con las letras V o H, junto con un subíndice con la letra que corresponde a la recta.

Conocidas las trazas de una recta se pueden dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la misma. También al contrario, conocidas sus proyecciones, se pueden calcular las trazas.

Para hallar la traza horizontal, hay que tener en cuenta que este punto está en la recta y que tiene cota nula, por lo que su proyección debe estar situada sobre la linea de tierra.
Primero, debe localizarse el corte de la proyección vertical con la línea de tierra y la perpendicular trazada sobre este punto determinará la traza horizontal.
La obtención de la traza vertical se basa en el mismo método.

REPRESENTACIÓN DE LA RECTA

Una recta queda inequívocamente determinada por  dos puntos conocidos de la misma. Para poder hallar sus proyecciones se unen las proyecciones homónimas de dos de sus puntos.

También queda determinada si se conocen sus proyecciones horizontal y vertical, excepto en las rectas de perfil que quedan determinadas por dos de sus puntos o por la tercera proyección.

Por tanto, una recta se representará en el sistema diédrico mediante sus proyecciones sobre el plano vertical y el plano horizontal, a las que llamamos proyección vertical y horizontal de la recta y que se representan por las letras r y r´.

Para representar estas proyecciones, es suficiente con representar las proyecciones de dos puntos de la recta y unir las proyecciones homólogas.
Sea la recta r. Sus proyecciones sobre los planos son: sobre el PH r’ y sobre el PV r’’.

Por ejemplo, para representar la recta R, representamos primero las proyecciones verticales y horizontales de A y B, puntos contenidos en ella. Uniendo -a’- con -b’- tendremos la proyección vertical de R, r’. Uniendo -a- con -b-, la proyección horizontal de “R”

REGLA DE PERTENENCIA

      1.   Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones        homónimas de la recta, es decir cuando las proyecciones vertical y horizontal del punto pertenecen respectivamente  a las proyecciones vertical y horizontal de la recta.

2. Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las proyecciones homónimas del plano, es decir, si la traza vertical de la recta es un punto de la traza vertical del plano y además, la traza horizontal de la recta es un punto de la traza horizontal del plano.

3.  Un punto pertenece a un plano cuando se puede situar en una recta de dicho plano.

LÁMINA